6.1.8 蓝桥杯数学之欧拉函数&欧拉降幂

 

6.1.8 蓝桥杯数学之欧拉函数&欧拉降幂

引言

在编程竞赛中，欧拉函数和欧拉降幂是解决一系列数论问题的关键工具。欧拉函数用于衡量与某个正整数互质的数的数量，而欧拉降幂则利用欧拉函数来简化大幂次运算。本文将探讨这两个概念及其在蓝桥杯等编程竞赛中的应用。

欧拉函数 (Euler's Totient Function)

欧拉函数 ϕ(n) 表示小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数量。

计算公式

欧拉函数可以通过以下公式计算：

其中，p1​,p2​,…,pk​ 是 n 的所有不同的素因子。

实现

在 C++ 中，可以通过以下方式实现欧拉函数：

#include <iostream>
using namespace std;

int eulerTotient(int n) {
    int result = n;
    for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {
        if (n % p == 0) {
            while (n % p == 0)
                n /= p;
            result -= result / p;
        }
    }
    if (n > 1)
        result -= result / n;
    return result;
}

int main() {
    int number;
    cout << "Enter a number: ";
    cin >> number;
    cout << "Euler's Totient Function value of " << number << " is " << eulerTotient(number) << endl;
    return 0;
}

欧拉降幂 (Euler's Theorem)

欧拉降幂是基于欧拉函数的一个定理，用于简化模 n 运算中的大幂次问题。

定理

如果 a 和 n 互质，则有： aϕ(n)≡1modn 其中，ϕ(n) 是欧拉函数。

应用

欧拉降幂在处理大幂次模运算时非常有用。例如，计算 abmodn 时，如果 b 很大，我们可以先计算 mod  bmodϕ(n)。

示例

假设我们要计算 mod  abmodn，其中 b 非常大。通过欧拉降幂，我们可以先计算 b 对 ϕ(n) 的模，然后再利用快速幂计算结果。

结论

理解和应用欧拉函数及欧拉降幂对于解决编程竞赛中的数论问题至关重要。这些工具不仅可以帮助我们高效地处理复杂的数论问题，还能在密码学和加密算法中发挥重要作用。