线性系统理论 -- 降阶观测器的设计

定理： 若系统能观测，且rankC=m，则系统的状态观测器的最小维数是(n-m)。

线性定常时不变系统方程如下（以三阶(n=3)单入单出系统为例，有m=rankC=1）： 

取变换阵P，有：

对上述系统方程进行线性变换，

得到如下形式：

 

        输出y直接给出。于是状态估计时，只需对 n-m=2 维的、进行估计即可。这就是说，降阶观测器的维数为n-m=2。

降阶观测器方程为：

        只需要选择合适的G1阵，使得 所有的特征值具有期望的特征值即可。

举例如下：

给定连续线性时不变系统：

试确定特征值为-3，-4的二维状态观测器。

解答：

 先判断系统是否能观测：

故系统能观测。

选取变换阵P：

 可见状态变量可由y直接提供。现只需要设计一个二阶状态观测器来估计即可。

设G1阵为：

则有：

期望的特征多项式为：

 

对照系数得：

 

得到：

 从而：

系统的二阶降维观测器为：

 其中：