【线代】线性方程组求解概念：齐次/非齐次方程的解？非零解、无穷多解、求解、求通解、方程有解时求全部解，是什么意思？
目录
一、起因
被线代的大量解的称呼唬住了，收集了主要的问法，如下。
有非零解、有无穷多解、求解、求通解、方程有解时求全部解，具体都是什么意思呢？
群友的一句回答，给了我一些方向，看要求的是谁的解。文章也按照“谁的什么解”的思路来分类，也就是上述问题的反问题——齐次方程、非齐次方程解的情况。
二、概念理解
这个问题一开始提的不好，是因为没有搞清楚方程与解的情况是对应的。分类是逐层的，应该先有齐次、非齐次，再分别研究。这样做的原因如下，一个是方程不同，解的结构不同；二是解的数量/判定，及求解方法不同。在此分别分析两种方程的解的结构、数量，穿插一些记忆方法。
1. Ax=0 的解
（1）结构：对于齐次方程组 Ax=0，它的解就是满足方程的 xi 值组成的列向量 x。
（2）解的情况 / 数量：
- Amxn 长方形矩阵（==表示前后条件等价，为充要条件可互推。）
- r(A) = n == 只有0解，有唯一解
- r(A) < n == 有无穷多解（包括0解、非零解），此时（齐次方程时）也可说“有非零解”、“不只有零解”、“求通解”
- 注：零解是零向量，即xi 全为0的解。齐次方程至少有0解，因为代入恒成立。但是齐次方程也许有除了零解以外的解，也就是非零解，而且要有，就不是一个两个，而是无穷多个！这里的措辞是“有非零解”，不是“只有非零解”，注意下。而这无穷多个的表达式就是通解，它含有有限个任意常数！
- Anxn 方形矩阵
- |A| ≠ 0 == 只有0解
- |A| = 0 == 有无穷多解，有非零解，不只有零解
- 记忆：|A|≠0，x 只好恒为0。|A|=0，那么 x 就可以非0。（如若证明，也好理解，|A|≠0时，A可逆，所以Ax=0左乘A-1，得x=0）
2. Ax=b 的解
（1）结构：非齐次方程的解，等于齐次方程通解 + 非齐次方程的一个特解（很像微分方程的解的结构）。
（2）解的情况/数量
- Amxn 长方形矩阵
- r(A) ≠ r(A|b) == 无解
- r(A) = r(A|b) =n == 有唯一解（因为方程数等于列秩，也就等于未知数个数，即一个方程可确定一个未知数。）
- r(A) = r(A|b) <n == 有无穷多解，有非唯一的解，不只一个解，求通解（方程数少，能确定的未知数少，有不受约束可自由取值的自由变量。）
- 注：非齐次方程的无穷多解不包括唯一解，它对应于秩相等但不满的情况；而唯一解是秩相等且列满秩，多了一些方程（约束条件），所以这分明是两个方程组！
- Anxn 方形矩阵（克莱姆法则）
- |A| ≠ 0 == 唯一解，xi = |Ai| / |A|，再把 xi 拼起来得到 x
- |A| = 0 == 唯一解的对立事件（无解，或是无穷多解，此判断法失效！分别在原始矩阵中，代入使 |A|=0 的参数数值，化为阶梯型，用 r(A|b) 判断。此方法的好处是，代入数值后，化简更容易；弊端是如果有不同参数值，可能需要分别化简两个矩阵，而 Amxn 只需一次复杂的化简。）
- 记忆：|A|≠0，才能放分母上，才可克莱姆法则。
三、齐次、非齐次方程解的关系
（1）前提是“当 Ax=b 有解时”：（没有此前提，则不可正推，只可反推）
当 Ax=0 只有0解时，Ax=b 只有唯一解，也就是它自己的一个特解。（反之亦然）
当 Ax=0 有无穷多解时，Ax=b 也有无穷多解。（反之亦然）
（2）Ax=0 有多少解，对应的 Ax=b 都可能无解，这和b有关！
（3）齐次方程总是有解的，只是数量多少问题，因为方程右侧是0，加减时，总是左侧在变。但是，非齐次方程加减时，右侧常数也在变，可能出现 0=1 等的情况，这就是无解。
四、求解、求全部解
求解：如果是具体方程，则求所有能求的解，这里就是全部解，如果求不出就是无解，结果只有确定的一种。如果是方程里含参数，需要讨论的，那么无解也需要说明情况，因为参数要讨论所有实数取值。
方程有解时求全部解：这里先限定了有解时，其次求全部解看是哪个方程。若齐次方程，那就是0解（一定有）+ 无穷多解（看有没有），也许要讨论参数取值。若非齐次方程，那就是唯一解（看有没有） + 无穷多解（看有没有），也许要讨论参数。
五、小结
1. 齐次 Ax=0
- Amxn
- r(A) = n == 只有0解，有唯一解
- r(A) < n == 有无穷多解，有非零解、不只有零解、求通解
- Anxn
- |A| ≠ 0 == 只有0解
- |A| = 0 == 有无穷多解，有非零解，不只有零解
- 记忆：|A|≠0，x 只好恒为0。|A|=0，那么 x 就可以非0。
2. 非齐次 Ax=b
- Amxn
- r(A) ≠ r(A|b) == 无解
- r(A) = r(A|b) =n == 有唯一解
- r(A) = r(A|b) <n == 有无穷多解，有非唯一的解，不只一个解，求通解
- Anxn
- |A| ≠ 0 == 唯一解，xi = |Ai| / |A|，再把 xi 拼起来得到 x（克莱姆法则）
- |A| = 0 == 唯一解的对立事件（无解，或无穷多解，此判断法失效！代入使 |A|=0 的参数值，用 r(A|b) 判断。）
- 记忆：|A|≠0，才能放分母上，才可克莱姆法则。
3. Ax=b 有解时，Ax=0 的解与之对应。Ax=0 有多少解，对应的 Ax=b 都可能无解，和b有关。
4. 齐次方程总是有解的，只是数量多少问题。但是，非齐次方程可能无解。
5. 求解：能求的都求出，不能求就是无解，酌情说明（参数讨论时一定要）。
6. 有解时求全部解：看是哪个方程。齐次方程 = 0解（一定有）+ 无穷多解（看有没有），讨论参数。非齐次方程 = 唯一解（看有没有） + 无穷多解（看有没有），讨论参数。
一个感慨：作为提问者，我确实需要练习下细化问题这件事。
这也是在写博客的文章时注意的了，怎么起好标题，今天的就太长了啊。