信息光学·苏显渝 第二版 | 习题 | 第一章 线性系统分析
本文为学习记录，仅供参考，非官方解答。部分题解只点出相对应的知识点或思路。
1.1
简要说明以下系统是否有线性和平移不变性
(1)
g
(
x
)
=
d
f
(
x
)
d
x
\bm{g}(x)=\cfrac{d\bm{f}(x)}{dx}
g(x)=dxdf(x)
(2)
g
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
\bm{g}(x)=\int \bm{f}(x) dx
g(x)=∫f(x)dx
(3)
g
(
x
)
=
∣
f
(
x
)
∣
\bm{g}(x)=|\bm{f}(x)|
g(x)=∣f(x)∣
(4)
g
(
x
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
α
)
[
h
(
x
−
α
)
]
2
d
α
\bm{g}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \bm{f}(\alpha)[h(x-\alpha)]^2d\alpha
g(x)=∫−∞+∞f(α)[h(x−α)]2dα
(5)
∫
−
∞
+
∞
f
(
α
)
e
x
p
(
−
j
2
π
ξ
α
)
d
α
\int_{-\infty}^{+\infty} \bm{f}(\alpha)exp(-j2\pi\xi\alpha)d\alpha
∫−∞+∞f(α)exp(−j2πξα)dα
线性系统： L { f 1 ( x 1 , y 1 ) } = g 1 ( x 2 , y 2 ) \mathscr{L}\{f_1(x_1,y_1)\} = g_1(x_2,y_2) L{f1(x1,y1)}=g1(x2,y2) L { f 2 ( x 1 , y 1 ) } = g 2 ( x 2 , y 2 ) \mathscr{L}\{f_2(x_1,y_1)\} = g_2(x_2,y_2) L{f2(x1,y1)}=g2(x2,y2)
L { a f 1 ( x 1 , y 1 ) + b f 2 ( x 1 , y 1 ) } = a L { f 1 ( x 1 , y 1 ) + b L { f 2 ( x 1 , y 1 ) } = a g 1 ( x 2 , y 2 ) + b g 2 ( x 2 , y 2 ) \mathscr{L}\{af_1(x_1,y_1)+bf_2(x_1,y_1)\} =a\mathscr{L}\{f_1(x_1,y_1)+b\mathscr{L}\{f_2(x_1,y_1)\}= ag_1(x_2,y_2)+bg_2(x_2,y_2) L{af1(x1,y1)+bf2(x1,y1)}=aL{f1(x1,y1)+bL{f2(x1,y1)}=ag1(x2,y2)+bg2(x2,y2)则称 L \mathscr{L} L为线性系统。
平移不变性：要求输入系统与输出系统具有一样的宗量，即对于输入系统 f ( x 1 , y 1 ) f(x_1,y_1) f(x1,y1)，输出系统 g ( x 2 , y 2 ) g(x_2,y_2) g(x2,y2)，满足 x 1 = x 2 , y 1 = y 2 \bm{x_1=x_2,y_1=y_2} x1=x2,y1=y2，从而对于这种系统来说，有如下关系
L { f ( x , y ) } = g ( x , y ) \mathscr{L}\{f(x,y)\}=g(x,y) L{f(x,y)}=g(x,y)
L { f ( x − x 0 , y − y 0 } = g ( x − x 0 , y − y 0 ) \mathscr{L}\{f(x-x_0,y-y_0\}=g(x-x_0,y-y_0) L{f(x−x0,y−y0}=g(x−x0,y−y0)则称 L \mathscr{L} L为线性系统。
综上，要验证系统是否具有线性和平移不变性的关键是找出系统 L \mathscr{L} L是什么。
解答：
(1)
-
线性：✅
该系统 L \mathscr{L} L = 对输入系统 f \bm{f} f 求导。对于线性的系统的证明很简单，就是直接带入线性系统的定义即可证明该系统为线性系统。 -
平移不变性：✅
平移后的系统为 f ( x − x 0 ) \bm{f}(x-x_0) f(x−x0)经过系统作用后为 d f ( x − x 0 ) d ( x − x 0 ) \cfrac{d\bm{f}(x-x_0)}{d(x-x_0)} d(x−x0)df(x−x0)显然 = g ( x − x 0 ) \bm{g}(x-x_0) g(x−x0)
(2)
- 线性： ✅ 该系统 L \mathscr{L} L = 对输入系统 f \bm{f} f 求不定积分，积分算符显然具有线性。
- 平移不变性：✅ 证明方式同上。
(3)
- 线性：❌ 该系统 L \mathscr{L} L = 对输入系统 f \bm{f} f 取模，显然 ∣ a f ( x ) ∣ ≠ a ∣ f ( x ) ∣ = a g ( x ) |af(x)|\neq a|f(x)| = ag(x) ∣af(x)∣=a∣f(x)∣=ag(x)，即 L { a f ( x ) } ≠ a L { f ( x ) } \mathscr{L}\{af(x)\} \neq a\mathscr{L}\{f(x)\} L{af(x)}=aL{f(x)}
- 平移不变性：✅ 证明方式同上。
(4)
- 线性：✅ 令 [ h ( x ) ] 2 = h ′ ( x ) [h(x)]^2 = h'(x) [h(x)]2=h′(x)，那么可以很容易看出该系统 L \mathscr{L} L = 输入系统 f \bm{f} f 与 h ′ ( x ) \bm{h'}(x) h′(x) 做卷积，因为卷积算符具有线性，即有该系统具有线性。
- 平移不变性：✅ 证明方式同上
(5)
线性：✅ 该系统
L
\mathscr{L}
L = 对输入系统
f
\bm{f}
f 做傅里叶变换，根据傅里叶变换性质可知，该系统具有线性。
平移不变性：❌ 根据傅里叶变换的性质可知，空域(即输入)的平移(即位移)会导致频域(即输出)产生相移，而非同样产生平移，因此该系统显然不具有平移不变性。
1.2
证明 c o m b ( x 2 ) = c o m b ( x ) e x p ( j π x ) + c o m b ( x ) comb(\cfrac{x}{2})=comb(x)exp(j\pi x)+comb(x) comb(2x)=comb(x)exp(jπx)+comb(x)
本题需要用到的公式：
c o m b ( x ) = ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( x − n ) comb(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n) comb(x)=n=−∞∑+∞δ(x−n)
δ ( a x ) = 1 ∣ a ∣ δ ( x ) \delta(ax)=\cfrac{1}{|a|}\delta(x) δ(ax)=∣a∣1δ(x) （注意区分 δ \bm\delta δ函数的坐标缩放性质和傅里叶变换的坐标缩放性质）
δ ( x − x 0 ) f ( x ) = δ ( x − x 0 ) f ( x 0 ) \delta(x-x_0)f(x)=\delta(x-x_0)f(x_0) δ(x−x0)f(x)=δ(x−x0)f(x0)
证：等式两边同时做变换，利用上述公式，容易证明。
1.3 证明 π δ ( s i n π x ) = c o m b ( x ) \pi\delta(sin\pi x)=comb(x) πδ(sinπx)=comb(x)
1.4
计算图示两函数的一维卷积（图见教材）
解：
f
(
x
)
=
{
−
x
+
1
x≥0且x≤1
0
其他
f(x)=\begin{cases} -x+1& \text{x≥0且x≤1}\\0& \text{其他} \end{cases}
f(x)={−x+10x≥0且x≤1其他
h
(
x
)
=
{
x
+
1
x≥-1且x≤0
0
其他
h(x)=\begin{cases} x+1& \text{x≥-1且x≤0}\\0& \text{其他} \end{cases}
h(x)={x+10x≥-1且x≤0其他
f
(
α
)
=
{
−
α
+
1
α≥0且α≤1
0
其他
f(\alpha)=\begin{cases} -\alpha+1& \text{α≥0且α≤1}\\0& \text{其他} \end{cases}
f(α)={−α+10α≥0且α≤1其他
h
(
x
−
α
)
=
{
x
−
α
+
1
x-α≥-1且x-α≤0
0
其他
h(x-α)=\begin{cases} x-α+1& \text{x-α≥-1且x-α≤0}\\0& \text{其他} \end{cases}
h(x−α)={x−α+10x-α≥-1且x-α≤0其他
f
(
x
)
∗
h
(
x
)
f(x)*h(x)
f(x)∗h(x)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
α
)
h
(
x
−
α
)
d
α
=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)h(x-\alpha)d\alpha
=∫−∞+∞f(α)h(x−α)dα
接下来就是考虑在不同区间求解，以下是
f
f
f 和
h
h
h 函数都不为 0 的时候的运算，在不同区间的积分上下限不同。
=
∫
(
−
α
+
1
)
[
(
x
−
α
)
+
1
]
d
α
=\int(-\alpha+1)[(x-\alpha)+1]d\alpha
=∫(−α+1)[(x−α)+1]dα
=
∫
(
α
−
1
)
2
−
x
(
α
−
1
)
d
α
=\int(\alpha-1)^2-x(\alpha-1)d\alpha
=∫(α−1)2−x(α−1)dα
=
∫
(
α
−
1
)
2
−
x
(
α
−
1
)
d
(
α
−
1
)
=\int(\alpha-1)^2-x(\alpha-1)d(\alpha-1)
=∫(α−1)2−x(α−1)d(α−1)
1.5
计算下列一维卷积
(1)根据
δ
\delta
δ 函数卷积的性质易得
(2)矩形函数的自卷积是三角函数，矩形函数的卷积可以写成三角函数的线性叠加
解：
①对于这两个矩形函数的卷积可以先算
r
e
c
t
(
x
2
)
∗
r
e
c
t
(
x
2
)
=
2
Λ
(
x
a
)
rect(\cfrac{x}{2})*rect(\cfrac{x}{2})=2\Lambda(\cfrac{x}{a})
rect(2x)∗rect(2x)=2Λ(ax)
②根据卷积的平移不变性可得
r
e
c
t
(
x
+
1
2
)
∗
r
e
c
t
(
x
−
1
2
)
=
r
e
c
t
(
x
2
+
1
2
)
∗
r
e
c
t
(
x
2
−
1
2
)
=
2
Λ
(
x
+
1
2
−
1
2
a
)
=
2
Λ
(
x
a
)
rect(\cfrac{x+1}{2})*rect(\cfrac{x-1}{2})=rect(\cfrac{x}{2}+\cfrac{1}{2})*rect(\cfrac{x}{2}-\cfrac{1}{2})=2\Lambda(\cfrac{x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{a})=2\Lambda(\cfrac{x}{a})
rect(2x+1)∗rect(2x−1)=rect(2x+21)∗rect(2x−21)=2Λ(ax+21−21)=2Λ(ax)
(3)
c
o
m
b
\bm{comb}
comb函数是
δ
\delta
δ 函数的求和，本题使用
δ
\delta
δ 函数的卷积性质即可求解，最终的结果是矩形函数求和，最终等于常数 1
1.6
考察傅里叶变换的性质，根据傅里叶变换的性质，易求解
1.7
计算积分
(1)根据广义巴塞伐定理，对于实函数来说，两个函数乘积的全空间积分等于两个函数分别对应的傅里叶变换后的函数乘积的全空间积分。
解：
①
s
i
n
c
4
(
x
)
=
s
i
n
c
2
(
x
)
×
s
i
n
c
2
(
x
)
sinc^4(x)=sinc^2(x)\times sinc^2(x)
sinc4(x)=sinc2(x)×sinc2(x)
②
s
i
n
c
2
(
x
)
sinc^2(x)
sinc2(x)与
Λ
(
x
)
\Lambda(x)
Λ(x)互为傅里叶变换
③综上，原题转化为三角函数平方的全空间积分
(2)同上，根据广义巴塞伐定义可以将
s
i
n
c
2
sinc^2
sinc2处理
F { c o s ( a x ) } = 1 2 [ δ ( ξ + a 2 π ) + δ ( ξ − a 2 π ) ] \mathscr{F}\{cos(ax)\}=\cfrac{1}{2}[\delta(\xi+\cfrac{a}{2\pi})+\delta(\xi-\cfrac{a}{2\pi})] F{cos(ax)}=21[δ(ξ+2πa)+δ(ξ−2πa)]
1.8
应用卷积定理求
f
(
x
)
=
s
i
n
c
(
x
)
s
i
n
c
(
2
x
)
f(x)=sinc(x)sinc(2x)
f(x)=sinc(x)sinc(2x)傅里叶变换
解：
F
{
f
(
x
)
}
=
F
{
s
i
n
c
(
x
)
s
i
n
c
(
2
x
)
}
\mathscr{F}\{f(x)\}=\mathscr{F}\{sinc(x)sinc(2x)\}
F{f(x)}=F{sinc(x)sinc(2x)}
=
F
{
s
i
n
c
(
x
)
}
∗
F
{
s
i
n
c
(
2
x
)
}
=\mathscr{F}\{sinc(x)\}*\mathscr{F}\{sinc(2x)\}
=F{sinc(x)}∗F{sinc(2x)}
s i n c \bm{sinc} sinc函数与 r e c t \bm{rect} rect互为傅里叶变换
= 1 2 r e c t ( ξ ) ∗ r e c t ( ξ 2 ) =\cfrac{1}{2}rect(\xi)*rect(\cfrac{\xi}{2}) =21rect(ξ)∗rect(2ξ)
r e c t ( ξ 2 ) = r e c t ( ξ − 1 2 ) + r e c t ( ξ + 1 2 ) rect(\cfrac{\xi}{2})=rect(\xi-\cfrac{1}{2})+rect(\xi+\cfrac{1}{2}) rect(2ξ)=rect(ξ−21)+rect(ξ+21)且有卷积的性质
= 1 2 [ Λ ( ξ − 1 2 ) + Λ ( ξ + 1 2 ) ] =\cfrac{1}{2}[\Lambda(\xi-\cfrac{1}{2})+\Lambda(\xi+\cfrac{1}{2})] =21[Λ(ξ−21)+Λ(ξ+21)]
1.9
(1)套傅里叶变换公式，无穷的部分取极限，最终会相抵消
(2)算积分，x的取值分区间，去掉绝对值
1.10
响应=阶跃函数卷积这个线性平移不变系统
阶跃函数：x大于0函数值为1，否则为0
1.11
同上，做卷积（可以通过先进傅里叶变换再进行逆傅里叶变换的方式得到卷积的结果）
1.12
波数 k k k 与波长 λ \lambda λ的关系： k = 2 π λ k=\cfrac{2\pi}{\lambda} k=λ2π x,y,z方向的空间频率：
ξ = cos α λ η = cos β λ ζ = cos γ λ \xi=\cfrac{\cos\alpha}{\lambda} \qquad \eta=\cfrac{\cos\beta}{\lambda} \qquad \zeta=\cfrac{\cos\gamma}{\lambda} ξ=λcosαη=λcosβζ=λcosγ
由题可知：
k
x
=
2
,
k
y
=
−
3
,
k
z
=
4
,
k
=
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
k_x=2,k_y=-3,k_z=4,k=\sqrt{{k_x}^2+{k_y}^2+{k_z}^2}
kx=2,ky=−3,kz=4,k=kx2+ky2+kz2
cos
α
=
k
x
k
\cos\alpha=\cfrac{k_x}{k}
cosα=kkx依次类推，套公式
1.13
传播方向的空间频率： f = ξ 2 + η 2 + ζ 2 f=\sqrt{{\xi}^2+{\eta}^2+{\zeta}^2} f=ξ2+η2+ζ2
如有错误，欢迎指正。