从能量守恒推导角动量守恒

一根绳子拉着一个小球，小球在一个光滑（摩擦力为0）平面上做匀速圆周运动。

设小球的质量为m，小球运动的初始半径为 $r_{0}$ ，此时小球运动的线速度为 $v_{0}$ ，可以计算出小球受到的初始拉力 $F_{0}=mv_{0}^{2}/r_{0}$ 。

随着绳子慢慢收紧，小球的运动半径减小，小球的运动速度在增加（因为绳子拉力对小球做功，这部分功全部转换为了小球动能，动能增加速度增加），小球受到的绳子的拉力也在增加。

在绳子收紧的整个过程中，小球每一时刻的运动都可以看做是匀速圆周运动，而匀速圆周运动的拉力和速度关系是固定的。这样我们就可以通过每一刻的速度来求出每一刻的拉力。我们有了每一时刻的拉力，就能利用积分求出整个过程绳子对小球做的功，这些功就等于小球动能的增加。

再利用能量守恒定律，小球在速度为 $v$ ，半径为 $r$ 时候的动能，减去绳子对小球做的功，等于小球的初始动能，也就是小球速度为 $v_{0}$ ，半径为 $r_{0}$ 时的动能。

这两个方程联立，可否推导出小球在半径为 $r$ 时候和它的速度 $v$ 的关系呢？

整个过程要求不使用动量守恒公式，因为我的目的是通过这个过程验证在能量守恒的前提下，能否推导出角动量守恒（即 $r m v$ 为常数）。

要推导出小球在半径为 $r$ 时的速度 $v$ 和它的关系，我们需要使用能量守恒定律和绳子对小球做的功的计算。

首先，根据能量守恒定律，我们可以得出：

$\text{初始动能} + \text{绳子对小球做的功} = \text{最终动能}$

初始动能为 $\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ ，最终动能为 $\frac{1}{2}mv^2$ 。绳子对小球做的功等于小球动能的增加量，也就是 $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_{0}^2$ 。

接下来，根据匀速圆周运动的原理，我们知道在圆周运动中，向心力 $F$ 由绳子提供，且 $\frac{mv^2}{r}$ 。

由于拉力 $F$ 是变化的，我们需要计算绳子对小球做的总功。这可以通过积分来完成。小球在绳子收紧的过程中，从半径 $r_{0}$ 变化到 $r$ ，对应的拉力 $F$ 也会相应变化。绳子对小球做的功 $W$ 可以表示为：

$\int_{r_{0}}^{r} F \, dr$

将 $\frac{mv^2}{r}$ 代入上式，并用能量守恒定律联立，我们可以得到：

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_{0}^2 = \int_{r_{0}}^{r} \frac{mv^2}{r} \, dr$

由于速度 $v$ 随半径 $r$ 的变化而变化，我们需要找到 $v$ 和 $r$ 之间的关系。这就需要解这个微分方程。这个方程可能较难直接解析求解，但可以通过数值方法或者适当的假设和简化来得到近似解。

最终，我们可以通过这种方法推导出小球在半径为 $r$ 时的速度 $v$ 与它之间的关系。这个过程没有使用动量守恒公式，而是完全基于能量守恒和圆周运动的原理。