经典递归问题：青蛙跳台阶，跳1个，2个或者3个

这个问题经常在各类面试中看到。一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

我们知道如果要写递归代码，那一定要先找到递归公式，这个找法，一个是画执行时的栈结构图来看，一个是从小到大来分析。我们看一下从小到大的过程：

从这里我们可以归纳出，递推公式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，然后就可以根据三步走策略来写代码了：

1、确定递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：

int f(int n){
}

2、找出递归结束的条件

求递归结束的条件，直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧？够直观吧？即 f(1) = 1。代码如下：

int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

3.找出函数的等价关系式

每次跳的时候，青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。

第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。

第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：

int f(int n){
    if(n <=2 ){
        return n;
    }
    return f(n-1) + f(n-2);
}

代码看上去没问题对不对？其实是有和斐波那契数列一样的问题的，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。

关于递归结束条件是否够严谨问题是递归算法的重要一环，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。我们这里再补充n=2的情况就行了，代码如下：

int f(int n){
    //f(0) = 0,f(1) = 1，等价于 n<=2时，f(n) = n。
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    return f(n-1) + f(n-2);
}

那结束条件该怎么确定呢？其实最简单的方式就是写几个试一试，n足够小的时候也不过为 0 1 2 3 这几个种情况，或者是执行结束或者开始的时候几个元素，带进去试一试看看对不对就行了。

如果一次还能跳3个呢？

拓展如果这里说青蛙每次可以跳1个，2个，或者3个，那该怎么做呢？

一共有n个台阶，那青蛙第一次可以有几种跳法呢？很显然第一次可以选择跳1个，2个，3个，那剩余的台阶数是多少呢？是n-1,n-2,n-3个。而剩余台阶不管是多少个，都可以按照f(n)一样的逻辑来处理，也就是f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)。所以我们就得到了递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)+......+f(n-3)。这明显也是一个递归过程。

我们前面说了，必须处理结束时的场景，所以f(0),f(1),f(2)都要单独标记一下，如果根据上面的说明，我们直接这些这么写其实是有问题的：

int jump(int n){
  if(n<=2)return n;
  return f(n-1)+f(n-2)+f(n-3);
}

问题在哪里呢？就是n=3的时候其实是有四种的：① 1 1 1 ② 1 2 ③ 2 1  ④ 3。但是这里从3开始就少了一种，为此有两种处理方法，一个是n=0的时候直接返回1，但是0的时候为什么是1呢？没想明白。

还有一种是将条件这么写：

if(n<=3){return 1<<(n-1)}而且如果是m的话，可以直接改成if(n<=m){return 1<<(n-1)}，测试了一下这么做确实有效，但是背后的道理是什么呢？也没想明白。