不等式证明（三）
设 p , q p ,q p,q 是大于1的常数，并且 1 p + 1 q = 1 \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 p1+q1=1.证明：对于任意的 x > 0 x>0 x>0，有 1 p x p + 1 q ≥ x \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}\geq x p1xp+q1≥x.
证明：
设
f
(
x
)
=
1
p
x
p
+
1
q
−
x
(1)
f(x)=\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}- x\tag{1}
f(x)=p1xp+q1−x(1)
只需证得
f
(
x
)
≥
0
f(x)\geq0
f(x)≥0即可，求导
f
′
(
x
)
=
x
p
−
1
−
1
(2)
f'(x)=x^{p-1}-1\tag{2}
f′(x)=xp−1−1(2)
显然，导函数并不恒大于0或小于0，有
f
′
(
x
)
{
<
0
x
<
1
=
0
x
=
1
>
0
x
>
1
(3)
f'(x)\begin{cases} <0&x<1\\ =0&x=1\\ \text{>}\space0&x>1 \end{cases}\tag{3}
f′(x)⎩
⎨
⎧<0=0> 0x<1x=1x>1(3)
有（3）式，可得在
x
=
1
x=1
x=1左边，
f
(
x
)
f(x)
f(x)为减函数;在
x
=
1
x=1
x=1右边，
f
(
x
)
f(x)
f(x)为增函数。
根据单调性和最值定理
f
(
1
)
=
0
(4)
f(1)=0\tag{4}
f(1)=0(4)
因此
f
(
x
)
≥
0
,
即
1
p
x
p
+
1
q
≥
x
f(x)\geq0,即\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}\geq x
f(x)≥0,即p1xp+q1≥x
证毕。