20231019 控制中的卷积

1. 什么是卷积

对于线性时不变系统而言，其输入和输出之间是卷积关系，也就是每个时刻的系统输入会对其后一段时间之内的系统输出产生影响，而对于某一时刻的输出是前一段时间输入的效果的叠加。

2. 定义单位输入

定义一个单位输入，如
$$\delta (t)\{\begin{array}{l}\frac{1}{\Delta },\text{if }0⩽t<\Delta \\ 0,\text{ else }\end{array}$$

假如这样一个输入，经过定常线性连续动态系统后，产生的输出为$h(t)$。注意，对于$t⩽0$，$h(t)$始终为零，而对于$t>0$，$h(t)$至少有一段非零。

3. 定义单位输入

举个例子，给一种特定的输入序列：$k_0\delta (t)$，$k_1\delta (t-\Delta )$，$k_2\delta (t-2\Delta )$。其相应的输出为：$k_{0}h(t)+k_{1}h(t-\Delta )+k_{2}h(t-2\Delta )={\sum }_0^2{k}_{i}h(t-i\Delta )$

这里定义输入序列的幅值为$u(0)$，$u(\Delta )$，$u(2\Delta )$，那么从输入信号与横轴之间空间的面积可以看出，$u(0)\Delta$的面积等于$k_0$，$u(\Delta )\Delta$的面积等于$k_1$，$u(2\Delta )\Delta$的面积等于$k_2$。

那么${\sum }_0^2{k}_{i}h(t-i\Delta )={\sum }_0^{2}u(i\Delta )h(t-i\Delta )\Delta$。

接着，令 $\Delta$ 趋向于0，则有$${\int }_{\tau =0}^{t}u(\tau )h(t-\tau )\text{d}\tau$$

4. 为什么是卷（Convolution）

观察${\int }_{\tau =0}^{t}u(\tau )h(t-\tau )\text{d}\tau$，它被定义为两个函数在反转和移位后的乘积的积分。