概率统计Python计算：双正态总体方差比单侧假设的F检验

设总体$X$~$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y$~$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$相互独立，为检验右侧假设$H_0:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2\le 1,H_1:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2>1$（或左侧假设$H_0:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2\ge 1,H_1:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2<1$），检验统计量为$\frac{S_1^2}{S_2^2}$~$F(n_1-1,n_2-1)$。其中，$S_1^2$和$S_2^2$分别为样来自$X$和$Y$的样本方差，$n_1$，$n_2$为样本容量。下列代码定义了计算单侧假设$H_0$的p值检验函数。

from scipy.stats import f			#导入f
def ftestR(F, dfn, dfd, alpha):		#右侧检验函数
    p=f.sf(F, dfn, dfd)
    return p>=alpha
def ftestL(F, dfn, dfd, alpha):		#左侧检验函数
    p=f.cdf(F, dfn, dfd)
    return p>=alpha

程序的第2~4行定义$F$方法右侧检验函数ftestR，第5~7行定义左侧检验函数ftestL。两个函数函数的参数F、dfn、dfd和alpha分别表示检测统计量观测值$\frac{s_1^2}{s_2^2}$、$F(n_1-1,n_2-1)$分布的自由度$n_1-1$和$n_2-1$以及显著水平$\alpha$。对于右侧检验函数ftestR，第3行计算p值为$F(n_1-1,n_2-1)$分布的残存函数在统计量值F处的函数值。而对于左侧检验函数ftestL，第6行计算p值为$F(n_1-1,n_2-1)$分布的累积分布函数在统计量值F处的函数值。返回的布尔值p>=alpha为True，则接受假设$H_0:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2\le 1$（或${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2\ge 1$），否则拒绝$H_0$。
例1 甲、乙两个铸造厂生产同一种铸件，假设两厂生产的铸件重量都服从正态分布，先从中随机抽取若干个，测得重量如下（单位：kg）：
$$\begin{gathered} \text{甲厂：}93.3,92.1,94.7,90.1,95.6,\mathrm{90.0.94.7} \\ \text{乙厂：}95.6,94.9,96.2,95.8,95.1,96.3 \end{gathered}$$
试问乙厂铸件重量的方差是否比甲厂的小（取显著水平$\alpha =0.05$）?
解： 设甲、乙两厂的铸件重量分别为$X$~$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$和$Y$~$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。需检验左侧假设
$$H_0:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2>1,H_1:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2\le 1.$$
下列代码完成本例计算。

import numpy as np                                      #导入numpy
x=np.array([93.3, 92.1, 94.7, 90.1, 95.6, 90.0, 94.7])  #样本数据
y=np.array([95.6, 94.9, 96.2, 95.8, 95.1, 96.3])        #样本数据
s12=x.var(ddof=1)                                       #样本方差
s22=y.var(ddof=1)                                       #样本方差
n1=x.size                                               #样本容量
n2=y.size                                               #样本容量
alpha=0.05                                              #显著水平
F=s12/s22                                               #检验统计量值
accept=ftestL(F, n1-1, n2-1, allpha)      				#左侧f检验
print('sigma1^2>sigma2^2 is %s.'%accept)

第2~8行根据题面设置各项数据。第9行计算检验统计量值$s_1^2/s_2^2$为F，第10行调用ftestL计算本例中总体方差比左侧假设的检验。运行程序，输出

sigma1^2>sigma2^2 is True.

表示接受假设$H_0:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2>1$，即在显著水平$\alpha =0.05$下推断乙厂铸件重量的方差比甲厂的小。
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