稠密集和疏朗集_（Analysis and Topology习题）：实数上的稠密开集

设

是

上的稠密开集，有如下问题：

1）（开集构造定理）证明：

可以写作至多可数个不相交开区间的并集

2）

是否一定是可数集？

证明：

对所有
中的元素取连通分量可得若干个互不相交的开区间。由于有理数的稠密性，在每个开区间内可以取一有理数。由此可知这些区间至多只有可数个。

2. 错误，考虑集合

（此为

中由小数展开里仅有0，1构成的数字全体组成的集合, ）。由对角线论证可以证明该集合是不可数集。下面考虑

, 则有：

i）

是开集：

，由构造，我们知道

.

（例如，假设

是

的小数展开中第一个不是0或1的数字，并假设它是2，则在

中距离

最近的数字是

. 设

，我们就有

）

所以

是开集。

ii)

是稠密集：

, 设

,则我们有

且

. 故

.

综上，

是

上的稠密开集。但

是不可数集。

注：这个题的唯一难点是坚定的认识到命题2是不成立的，因为后面的集合构造和论证其实并没有偏离常规。