无偏估计协方差和运行协方差

运行协方差 (Running Covariance):

运行协方差是一种在实时数据流中估计协方差矩阵的方法。它允许在不断到达新数据点时持续更新协方差。下面是运行协方差的计算方法：

1. 初始化协方差矩阵 (Cov) 和均值向量 (Mean)。

   • 初始时，Cov 是一个零矩阵，Mean 是零向量。

2. 当新数据点 (X) 到达时，使用以下公式更新协方差和均值：

   • 更新均值 (Mean)：

     Mean = (Mean * N + X) / (N + 1)

     其中，N 是已经处理的数据点数量。

   • 更新协方差 (Cov)：

     Cov = (Cov * N + (X - Mean) * (X - Mean)^T) / (N + 1)

     这里，^T 表示转置操作。

3. 重复步骤 2，每次到达新数据点时都会更新均值和协方差。

无偏估计协方差 (Unbiased Sample Covariance):

无偏估计协方差是一种用于计算样本协方差矩阵的方法，以便获得无偏估计。它通常用于统计学和数据分析中，以估计总体协方差矩阵。下面是无偏估计协方差的计算方法：

1. 初始化协方差矩阵 (Cov) 和均值向量 (Mean)。

   • 初始时，Cov 是一个零矩阵，Mean 是零向量。

2. 当新数据点 (X) 到达时，使用以下公式更新均值和协方差：

   • 更新均值 (Mean) 同样使用以下公式：

     Mean = (Mean * N + X) / (N + 1)

   • 更新协方差 (Cov) 以获得无偏估计：

     Cov = (N / (N + 1)) * Cov + (1 / (N + 1)) * (X - Mean) * (X - Mean)^T

     这里，N 是已经处理的数据点数量。

3. 重复步骤 2，每次到达新数据点时都会更新均值和协方差。无偏估计协方差的关键在于使用 (N / (N + 1)) 和 (1 / (N + 1)) 权重来保证估计的无偏性。

总之，运行协方差通常用于实时数据流中，而无偏估计协方差通常用于统计学和数据分析中，以获得无偏估计。无偏估计协方差在计算中使用加权平均以确保估计的无偏性。

在我们计算里程计的协方差时，由于只需要关心短时间里程的数据，所以通常取N个数据计算它们的协方差就行，不需要取之前所有的数据，所以此时用无偏估计和运行协方差都可以。

注意在计算里程计的yaw角时，由于周期性影响，通过atan2(sin(Δθ), cos(Δθ)) 去消除。