线性空间2

1 矩阵的值域（定义）

设, $A = (a_{ij}) \epsilon R^{m * n}$ , 以 a_i (i = 1,...,n) , 表示A的第i个列向量，称子空间 L(a_1,a_2,...a_n) 为矩阵的值域，记为 R(A) = L(a_1,a_2,...a_n)

值域有如下结论

（1） $R(A) \subset R^m$

（2）（矩阵的秩数） rank(A) = dimR(A) （线性空间V中线性无关向量组所含向量最大个数称为维数）

（3） $R(A) = \left \{ Ax | x\epsilon R^n \right \}$

证明 $R(A) = \left \{ Ax | x\epsilon R^n \right \}$

2 零度（定义）

设 $A = (a_{ij}) \epsilon R^{m*n}$ 称集合 $\left \{ x|Ax = 0 \right \}$ 为A的核空间（零空间），记为 N(A) , 它是齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间，它是 R^n 的一个子空间

A 的核空间的维数称为A的零度，记为 n(A) .

即： n(A) = dimN(A)

通过上述例子，得出结论： rank(A) + n(A) = A 的列数（1）

又因为 rank(A^T) + n(A^T) = A 的行数（2）

通过（1） - （2）可得： n(A) - n(A^T) = A的列数 - A的行数

3 子空间的交与和（定义）

设 V_1, V_2 是线性空间V的两个子空间，则：

$V_1 \cap V_2 = \left \{ x| x\epsilon V_1,x\epsilon V_2 \right \}$

$V_1 + V_2 = \left \{ x+y | x\epsilon V_1,y \epsilon V_2 \right \}$

分别称为两个子空间的交与和。

4 若 V_1,V_2 是线性空间V的两个子空间则 $V_1 \cap V_2, V_1 + V_2$ 均为V的子空间。（定理）

证明：

5 $V_1 \cap V_2$ 是包含在 V_1,V_2 中的最大子空间；

V_1 + V_2 是包含在 V_1,V_2 的最小子空间。

5 若 V_1,V_2 是线性空间V的子空间，则有

$dim(V_1 + V_2) + dim(V_1 \cap V_2) = dimV_1 + dimV_2$ 定理

6 直和（定义）

设 V_1,V_2 是线性空间V 的子空间，若其空间 V_1 + V_2 中任一元素只能唯一表示为 V_1 的一个元素与 V_2 的一个元素之和，即 $\forall x \epsilon V_1 + V_2$ , 存在唯一的 $y \epsilon V_1,z\epsilon V_2$ ,使得 x = y + z ,则称

为 V_1,V_2 的直和，记为 $V_1 \oplus V_2$ .

7 V_1 + V_2 为直和的充要条件是 $V_1 \cap V_2 = L(\vec{0})$ 推论

推论1 设 V_1,V_2 是线性空间V 的子空间，令 U = V_1 + V_2 ,则 $U = V_1 \oplus V_2$ 的充要条件为

dimU = dim(V_1 + V_2) = dimV_1 + dimV_2

推论2 如果 x_1,x_2,...x_k 为 V_1 的基， y_1,y_2,...y_l 为 V_2 的基，且 V_1 + V_2 为直和，则 x_1,x_2,...x_k,y_1,y_2,..y_l 为为直和的基。